Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông.

Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.

Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý:

Định lý sin

Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào:

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}

Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. (sinA)/a là nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.

Định lý cosin

Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}

Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.

Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180°Cùng cho một giá trị cos C

Định lý tang

Định lý tang phát biểu là:

a + b a − b = tan ⁡ [ 1 2 ( A + B ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( A − B ) ] {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\big [}{\cfrac {1}{2}}(A+B){\big ]}}{\tan {\big [}{\cfrac {1}{2}}(A-B){\big ]}}}}